Proposition :
Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique
Démonstration :
Par l'absurde, supposons que \(\underset{x\to x_0}{\lim} f(x)=L\) et que \(\underset{x\to x_0}{\lim} f(x)=M\)
Supposons que \(L\neq M\)
Si \(\underset{x\to x_0}\lim f(x) = L\), alors $$\forall\epsilon\gt 0,\exists\delta_L\gt 0\text{ tq } \lvert x-x_0\rvert \lt \delta_L\Longrightarrow\lvert f(x)-L\rvert \lt \epsilon\tag{1}$$
Si \(\underset{x\to x_0}\lim f(x) = M\), alors $$\forall\epsilon\gt 0,\exists\delta_M\gt 0\text{ tq } \lvert x-x_0\rvert \lt \delta_M\Longrightarrow\lvert f(x)-M\rvert \lt \epsilon\tag{2}$$
Soit \(\epsilon=\frac{\lvert L-M\rvert}{4}\gt 0\)
Alors $$4\epsilon=\lvert L-M\rvert=\lvert L-f(x)+f(x)+M\rvert$$
$$\Longrightarrow \epsilon\leqslant \lvert L-f(x)\rvert+\lvert M-f(x)\rvert$$ (d'après l'inégalité triangulaire)
$$4\epsilon\lt \epsilon +\epsilon\tag{1, 2}$$
Si \(\lvert x-x_0\rvert\lt \min(\delta_L,\delta_M)\) (on vérifie que ces deux suppositions sont vraies), alors \(4\epsilon\lt 2\epsilon\)
Mais \(\epsilon \gt 0\). Donc, nous avons une contradiction
Alors \(L=M\)
Théorème
Si \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) admet une limite, lors cette imite est unique
Démonstration :
Par l'absurde, on suppose qu'il existe \(\ell_1,\ell_2\in\Bbb R,\ell_1\neq\ell_2\) tels que \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow\ell_1\) et \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow\ell_2\)
Choisissons \(\varepsilon=\frac{\lvert\ell_1-\ell_2\rvert}2\gt 0\)
Il existe \(N_1\in\Bbb N\) tel que \(n\geqslant N_1\implies\lvert u_n-\ell_1\rvert\lt \frac{\lvert\ell_1-\ell_2\rvert}2\)
Il existe \(N_2\in\Bbb N\) tel que \(n\geqslant N_2\implies\lvert u_n-\ell_2\rvert\lt \frac{\lvert\ell_1-\ell_2\rvert}2\)
Soit \(n\geqslant\max(N_1,N_2)\)
On a : $$\begin{align}\lvert\ell_1-\ell_2\rvert=\lvert(\ell_1-u_n)+(u_n-\ell_2)&\leqslant\lvert u_n-\ell_2\rvert\\ \lvert\ell_1-\ell_2\rvert&\lt\frac{\lvert\ell_1-\ell_2\rvert}2+\frac{\lvert\ell_1-\ell_2\rvert}2={\lvert\ell_1-\ell_2\rvert}\end{align}$$
\(\lvert\ell_1-\ell_2\rvert\lt \lvert\ell_1-\ell_2\rvert\) est absurde, donc la limite est unique
